Разработка математической модели и ПО для задач составления расписания

Основной функцией манипуляционной части реляционной модели является

обеспечение меры реляционности любого конкретного языка реляционных БД:

язык называется реляционным, если он обладает не меньшей выразительностью и

мощностью, чем реляционная алгебра или реляционное исчисление.

Наконец, в целостной части реляционной модели данных фиксируются два

базовых требования целостности, которые должны поддерживаться в любой

реляционной СУБД. Первое требование называется требованием целостности

сущностей. Второе требование называется требованием целостности по ссылкам.

После предварительного анализа математической модели системы и

способов организации данных, а также имеющегося на рынке ПО (иерархический

и сетевые способы организации предполагают объектно - орентированный подход

к организации данных и на сегодняшний день имеются такие СУБД (например,

Jasmin или Informix Dynamic Server), но на момент разработки возможности их

использования не было, в то же время существуют очень “мощные” реляционные

СУБД (к примеру Oracle 8i)) выбор был сделан в пользу реляционного способа

организации хранения данных.

2.3.2. ОПИСАНИЕ ВХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Вся необходимая для решения поставленной задачи информация задается до

начала итераций методов решения задачи составления расписания. Для

упрощения считается, что заданная информация является постоянной на всем

протяжении периода, для которого составляется расписание.

Не теряя определенной степени общности поставленной задачи, можно

определить некую совокупность входных данных, необходимых для формирования

ограничений и решения задачи, и в то же время общих для всех разновидностей

практических реализаций системы. В силу специфики поставленной задачи

(возможность сравнительно легкой адаптации математической модели для случая

практической реализации в рамках конкретного вуза) формы документов входной

информации не разрабатывались. Реквизиты входной информации описаны в

табл.2.

Таблица 2. Описание реквизитов входной информации

|Наименование реквизитов |Характеристика реквизитов |

Кроме этих данных для математической модели необходимо наличие еще

некоторых дополнительных данных, которые могут быть получены после анализа

входной информации программным путем.

2.3.3. РАЗРАБОТКА ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЗАДАЧИ

Произведем анализ исходной информации с целью определения состава и

структуры информации для последующей формализации и построения

информационно-логической модели данных (ИЛМ). Приведенная выше

математическая модель, а также дополнительные сведения из описания

предметной области позволяют определить роль реквизитов во взаимосвязанной

информации, содержащейся в документе. На основе такого анализа установим

функциональные зависимости реквизитов в соответствии с рекомендациями и

требованиями нормализации данных, после чего проведем саму нормализацию.

Цель нормализации состоит в том, чтобы уменьшить (но необязательно

устранить) избыточность данных. Однако иногда некоторая избыточность данных

создается намеренно, чтобы повысить эффективность работы программы. Дадим

определение трех форм нормализации базы данных.

Таблица находится в первой нормальной форме (1NF), если она имеет

первичный ключ, все атрибуты представляют собой простые типы данных и

отсутствуют повторяющиеся атрибуты. Чтобы соответствовать 1NF, домены

атрибутов должны быть атомарными значениями и не должно быть повторяющихся

групп атрибутов. Все повторяющиеся группы атрибутов должны быть перенесены

в новую таблицу.

Таблица находится во второй нормальной форме (2NF) тогда, когда она

находится в первой нормальной форме и каждый неключевой атрибут полностью

функционально зависит от первичного ключа (т.е. в 2NF каждый неключевой

атрибут должен полностью зависеть от полей первичного ключа).

Таблица находится в третьей нормальной форме (3NF), если она находится

в 2NF и не содержит транзитивных зависимостей. Транзитивные зависимости –

это функциональные зависимости между неключевыми атрибутами. Любой

неключевой атрибут, который функционально зависит от другого неключевого

атрибута той же таблицы, создает транзитивную зависимость и должен быть

перемещен в другую таблицу.

Получающиеся функциональные зависимости довольно тривиальны и очевидно

вытекают из математической модели, поэтому в дальнейшем описании они не

приводятся. Также в дальнейшем изложении опускаются промежуточные степени

нормализации. Поэтому приведем лишь окончательную инфологическую модель

базы данных (см. рис. 1.).

Рис.1. Инфологическая модель базы данных задачи

составления расписания занятий

2.3.4. ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ОГРАНИЧЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

МОДЕЛИ ЗАДАЧИ СОСТАВЛЕНИЯ РАСПИСАНИЯ

Составление ограничений (1) – (7) математической модели задачи

составления расписания является достаточно тривиальной задачей, решаемой с

помощью несложных SQL – запросов и не требующей предварительного анализа

входной информации. Поэтому подробнее лишь остановимся на ограничениях вида

(8).

Заметим, что в математической модели системы читаемый предмет

“привязывается” не к определенной аудитории проведения, а к некоторому

множеству аудиторий. Расстановка конкретных номеров аудиторий производится

уже после решения поставленной задачи. Ограничения вида (8) имеют смысл

только тогда, когда множества аудиторий пересекаются. В математической

модели системы предлагается учитывать все уникальные пересекающиеся пары в

виде ограничений. Количество этих пересечений может быть велико, что может

привести к большому числу дополнительных ограничений, отрицательно влияющих

на скорость работы алгоритмов оптимизации. Однако можно существенно

уменьшить количество дополнительных ограничений.

Рассмотрим случай линейного расположения пересекающихся множеств (см.

рис. 2.).

Рис.2. Линейно пересекающиеся множества

В случае такого расположения множеств аудиторий для проведения занятий

общее число ограничений вида (8) будет n-1, где n – количество множеств.

Описанное выше расположение пересекающихся множеств может быть названо

линейным, так как при этом n пересекающихся множеств расположены как бы в

линию. Можно рассмотреть случай, когда множества пересекают друг друга

произвольным образом (см . рис. 3.).

Рис.3. Произвольно пересекающиеся множества

[pic]

Число ограничений вида (8) в этом случае можно уменьшить, проведя

формирование этих ограничений по аналогии со случаем линейного расположения

множеств. Для этого необходимо предположить, что, например, множества B и

D, пересекающиеся с A, являются одним множеством, определить область

пересечения такого множества с множеством A, после чего провести те же

самые действия с получившейся областью пересечения.

Подробнее об этом см. [2], стр. 210.

2.4. Результаты работы программы

При практической реализации системы особое внимание было уделено

задаче написания “ядра” системы – методам решения задачи и процедурам

формирования ограничений. Поскольку не ставилось задачи написать

полнофункциональный коммерческий продукт, интерфейсная часть была написана

для целей тестирования ядра и определения границ применимости алгоритмов,

поэтому включает в себя минимум функциональных возможностей и не содержит

модулей предобработки входных данных.

Ядро системы и интерфейсная часть были написаны на Delphi 6.0. Методы

решения и алгоритмы формирования ограничений написаны с использованием

объектно-ориентированнных технологий, что позволит в будущем легко

инкапсулировать их в дальнейшие модификации системы, не нарушая целостности

взаимодействия различных алгоритмов. Текст объектов методов решения задачи

приведен в приложении 2. База данных была реализована на СУБД Oracle 8i,

запросы к ней осуществляются на языке PL/SQL.

Исходные данные задачи заносятся в таблицы базы данных с помощью

запросных форм. Одна из таких форм приведена на рис. 3.

Рис.3. Форма занесения исходных данных

[pic]

Данных, получаемых в результате решения задачи, недостаточно для

вывода расписания занятий непосредственно после решения задачи, поэтому был

написан модуль постобработки данных. Конечное расписание занятий выводится

в виде таблицы, пример которой см .рис. 4.

Рис. 4. Пример расписания занятий

[pic]

Алгоритмы решения задачи были протестированы на различных выборках

исходных данных. Тестирование производилось на ЭВМ с процессором Intel

Pentium 350 Мгц, СУБД Oracle 8i был установлен на двухпроцессорном сервере:

2 CPU Intel Pentium II 350 Мгц, ОЗУ 384 Мб; в качестве канала связи

использовалась LAN с пропускной способностью до 100 Мбит/с. В качестве

тестовых исходных данных были использованы как реальные данные о группах,

преподавателях и читаемых предметах вечерней формы обучения ЧГУ на

1999/2000 учебные годы, так и случайно формируемые исходные данные

(читаемым предметам случайным образом определяли аудитории для проведения

занятий). В среднем производилось от 5 до 10 тестов для каждой тестируемой

размерности исходных данных. В результате получили данные, приведенные в

таблице 2. На рисунке 5. приведен график зависимости среднего времени

решения задачи от количества читаемых предметов и количества групп.

[pic]

2.5. Анализ полученных результатов

Анализируя полученные данные можно сделать некоторые выводы о

функциональных возможностях алгоритмов решения и математической модели, их

недостатках и областях применения.

Во-первых, использованная математическая модель содержит в себе

“лишние” ограничения, существование которых обусловлено линейной

целочисленной моделью, кроме этого каждому читаемому на потоке (поток может

состоять и из одной группы) предмету ставится в соответствие 12 (для случая

вечерников) переменных, каждая из которых представляет из себя булеву

переменную. Во-вторых, резко возрастает время решения задачи при увеличении

входных данных. Это происходит из-за резкого увеличения количества

переменных и ограничений в модели, в результате чего возрастает размерность

массивов и соответственно время решения задачи. В-третьих, формализованная

математически задача охватывает только задачу составления расписания для

студентов вечерней формы обучения без учета переходов между корпусами. Учет

дополнительных требований увеличит количество ограничений задачи, что

отрицательно повлияет на скорость работы алгоритмов решения.

Обратим внимание на возрастающую разницу между минимальным и средним

значением времени решения задачи по мере увеличения размерности задачи. Эта

разница соответствует тому, насколько “удачно” (наиболее близко к

оптимальному) было найдено начальное допустимое базисное решение задачи.

Поэтому время решения задачи можно значительно уменьшить, “удачно” найдя

начальное базисное допустимое решение. Для поиска такого решения лучше

всего использовать эвристические и декомпозиционные алгоритмы.

Выводы

В ходе работы была построена математическая модель расписания в вузе

для случая вечерней формы обучения без переходов между корпусами, выбраны

методы решения поставленной задачи и разработана модель хранения исходных

данных задачи. Модель хранения исходных данных, алгоритм математической

формализации модели и методы решения были реализованы в виде программных

модулей. Скорость работы алгоритмов была протестирована на разнородных

наборах исходных данных, в результате чего были определены возможности и

области применения алгоритмов.

На основе результатов тестирования было установлено, что по скорости

работы алгоритмы решения задачи сильно зависят от объема входной информации

и начального допустимого базисного решения, и поэтому значительно уступают

эвристическим и декмпозиционным. Но в случае эвристического решения его

(решения) оптимальность (или достижение глобального максимума) может быть

доказана только полным перебором всех возможных вариантов (ясно, что в этом

случае время работы алгоритма будет очень большим), поэтому итерации

эвристических алгоритмов прекращаются по достижении некоего максимального

(нельзя сказать, локального или глобального) значения. Решение такого

алгоритма может быть близким к оптимальному, но не оптимальным. В этом

случае для достижения глобального максимума можно использовать

рассмотренный в работе способ решения, поскольку оптимум может быть

достигнут за несколько итераций описанных методов решения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лагоша Б.А., Петропавловская А.В. Комплекс моделей и методов

оптимизации расписания занятий в вузе // Экономика и мат. методы.

1993. Т. 29. Вып. 4.

2. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. М.: Мир,

1979.

3. Лебедев С.С. Модификация метода Бендерса частично целочисленного

линейного программирования // Экономика и мат. методы. 1994. Т. 30.

Вып. 2.

4. Лебедев С.С., Заславский А.А. Использование специального метода

ветвей и границ для решения целочисленной обобщенной транспортной

задачи // Экономика и мат. методы. 1995. Т. 31. Вып. 2.

5. Заславский А.А. Использование стратегии расслоения переменных в общих

задачах целочисленного линейного программирования // Экономика и мат.

методы. 1997. Т. 33. Вып. 2.

6. Лебедев С.С. О методе упорядочивающей индексации целочисленного

линейного программирования // Экономика и мат. методы. 1997. Т. 33.

Вып. 2.

7. Лебедев С.С., Заславский А.А. Модифицированный метод пометок для

задач булева программирования // Экономика и мат. методы. 1998.

Т. 34. Вып. 4.

8. Заславский А.А. Комбинированный метод решения задач о рюкзаке //

Экономика и мат. методы. 1999. Т. 35. Вып. 1.

Приложение 1. Возможности программных продуктов систем

составления расписаний.

1. Система АВТОР-2+

Система АВТОР-2+ предназначена для быстpого и удобного составления

расписаний занятий и сопровождения их в течение всего учебного года.

АВТОР-2+ - универсальная система. Есть несколько версий программы,

рассчитанные на любые учебные заведения:

- сpедние и специализиpованные (математические, языковые и т.п.) школы,

лицеи, гимназии;

- техникумы, училища и колледжи;

- ВУЗы с одним учебным корпусом;

- ВУЗы с несколькими учебными корпусами (с учетом переездов между

корпусами).

АВТОР-2+ позволяет максимально облегчить и автоматизиpовать сложный тpуд

составителей расписания. Система помогает легко стpоить, коppектиpовать и

pаспечатывать в виде удобных и наглядных документов:

- pасписания занятий классов (учебных групп);

- расписания пpеподавателей;

- расписание аудиторий (кабинетов);

- учебные планы;

- тарификацию.

АВТОР-2+ имеет пpиятный дизайн и дpужеcтвенный сеpвис. Программа

достаточно проста в освоении. Имеется подробное руководство, в котором

описаны все возможности и способы работы с программой.

Программа работает на любых IBM-совместимых компьютерах, начиная с 486DX с

оперативной памятью 4Mb (и выше), занимает около 1 Mb на жестком диске.

Операционная система: MS DOS, либо WINDOWS 95/98.

Время работы зависит от размерности учебного заведения и мощности

компьютера. Полный расчет и оптимизация расписания школы среднего размера

(30 классов, 60 преподавателей, две смены) идет около 15 минут на

компьютере типа Celeron-400.

Программа отличается уникальным и очень мощным алгоритмом построения и

оптимизации расписания. Полученное автоматическое расписание практически не

требует ручной доработки, то есть даже при очень сложных и жестких

ограничениях автоматически размещаются все возможные занятия. Если в

исходных данных имеются неразрешимые противоречия, то их можно обнаружить и

устранить, используя специальный блок анализа.

АВТОР-2+ позволяет:

- оптимизировать "окна" в расписании;

- учитывать требуемый диапазон дней/часов как для классов, так и для

преподавателей;

- оптимально pазмещать занятия по кабинетам (аудиториям) с учетом

особенностей классов, предметов, пpеподавателей и вместимости

кабинетов;

- учитывать хаpактеp pаботы и пожелания как штатных сотpудников, так и

совместителей-почасовиков;

- легко соединять ("спаpивать") несколько классов (учебных групп) в

потоки пpи пpоведении любых занятий;

- pазделять классы пpи пpоведении занятий по иностранному языку,

физической культуре, тpуду, информатике (и любым другим предметам) на

любое количество подгрупп (до десяти!);

- вводить (помимо основных пpедметов) спецкуpсы и факультативы;

- оптимизировать равномерность и трудоемкость расписания.

По желанию заказчика АВТОР-2+ модифициpуется под условия конкретного

учебного заведения.

2. Система “Расписание” ver 4.0 Москва – ЛинТех

Необходимо сразу же отметить, что программа “Расписание” ориентирована на

составление школьного расписания, использование в ВУЗ`ах и колледжах

возможно лишь с некоторыми оговорками. Составление расписания производится

в рамках комплекса условий, которые определяются на шагах ввода исходных

данных. Полный перечень возможных условий приведен ниже:

- Ограничен максимальный номер урока – т.е. количество уроков,

максимально допустимое в день;

- Равномерность распределения нагрузки преподавателей между днями

расписания;

- Равномерность распределения нагрузки классов между днями

расписания;

- Контроль окон в расписании преподавателей;

- Программа учитывает то обстоятельство, что классы могут

произвольно объединяться и дробиться (классы могут объединяться

в потоки или же дробиться на более мелкие подгруппы, причем эти

подгруппы, в свою очередь, могут служить основой для объединения

в более крупные группы. Пример: в школе №1859 есть 2 старших

класса, но в каждом из этих классов есть две подгруппы по

специализации, занятия по общеобразовательным предметам

проводятся сразу для всего класса, а предметы по специализации –

отдельно. Но поскольку подгруппы по специализации слишком малы,

а преподавателей не хватает, по некоторым предметам подгруппы

11а и 11б также могут объединяться (например, на ин.яз.) – это

усложняет обеспечении непрерывности расписания для классов

(необходимо обеспечивать непрерывность расписания для каждой из

подгрупп);

- Наличие нескольких смен – в этом случае отдельные классы должны

приходить позже, чем группы первой смены, кроме этого,

усложняется контроль окон в расписании преподавателей, если есть

преподаватели, работающие в обе смены – в этом случае в

расписании этих преподавателей их занятия необходимо “стягивать”

вокруг пересечения смен;

- Условие привязки преподавателей к аудитории – отдельные

преподаватели имеют “свою” аудиторию, в которой проводят все

свои занятия;

- Наличие “плавающей” смены – когда время начала первого урока

точно не определено, т.к. оно формируется динамически, в

зависимости от освобождения связанных с соответствующим классов,

преподавателей, аудиторий;

- Контроль вхождения расписания объекта (класс, преподаватель,

аудитория) в допустимый рабочий диапазон (в карту временных

ограничений). Например, для преподавателя в карте временных

ограничений обычно указываются методические дни, иногда,

отдельные номера уроков – словом, указываются те позиции, на

которые установка занятий с участием данного объекта невозможна;

- Наличие комбинированных предметов – типа “ин.яз./информатика”

“информатика/труд” и т.п. - когда класс разбивается на

подгруппы;

- Условие привязки предметов к аудиториям – проведения занятий по

отдельным предметам возможно лишь в строго определенной

аудитории или списке аудиторий (физкультура, труд и т.п.);

- Составление расписания с учетом того обстоятельства, что по

некоторым предметам на занятия приходит не целый класс, а его

подгруппа. Чтобы другая подгруппа в это время не гуляла по

школе, такие занятия могут ставиться строго только первыми или

последними занятиями в расписании класса;

- “Выдержать параллели” – для некоторых преподавателей необходимо

учитывать то обстоятельство, что для проведения занятий

требуется длительная подготовка (например, занятия по химии), в

этом случае занятия в дневном расписании преподавателя стараются

поставить блоками параллелей, например, сначала 5-ые классы,

затем 7-ые и т.п., или же при распределении между днями разнести

занятия в разных параллелях на разные дни;

- Иногда при составлении расписания требуется учитывать тот нюанс,

что по некоторым предметам расписание известно заранее –в этом

случае такие занятия вводятся как неперемещаемые

(фиксированные);

- Контроль запрещенных комбинаций предметов, приходящихся на один

день расписания класса – например, нежелательно, чтобы

“физическая культура” и “труд” проводились в один и тот же день;

- Выполнение условия требуемых последовательностей предметов –

когда необходимо обеспечивать установку групп занятий, в которых

занятия должны идти в определенной последовательности, например,

физика-астрономия и т.п.;

- Наличие классов, привязанных к аудиториям – основная масса

занятий для таких классов проводится именно в этой аудитории, за

исключением тех занятий, для которых требуется

специализированная аудитория;

- Необходимость расстановки занятий по отдельным предметам по два

занятия подряд (“парами”, “спарками”), причем это условие может

быть жестким (ни в коем случае не разрывать “спарки” занятий), а

может носить предпочтительный характер (если не получается

перемещать по два занятия, “спарку” можно разрывать);

- Учитывается то обстоятельство, когда по некоторым предметам

расстановка допустима лишь одиночными занятиями.

3. Система “Методист”

Выпускается в двух версиях.

Версия virtual.

Выпускается без модуля автоматического составления расписания.

Возможности версии virtual:

- быстрый поиск в списках преподавателей, аудиторий, классов (групп),

дисциплин, корпусов;

- получение справочной информации по каждому найденному элементу списка

(вместимость аудитории, все ауд. корпуса Х, адрес и тел.

преподавателя, список кафедры, кол-во часов по дисциплине, учебная

нагрузка преподавателя и мн. др.);

- контроль и возможность перераспределения часов между неделями по любой

дисциплине уч. группы;

- автоматическая проверка возможных ошибок ввода данных (соответствие

общей суммы часов и по видам занятий, неназначение преподавателей по

подгруппам, бюджет времени уч. группы и преподавателя, несоответствие

часов в группах потока и мн. др.);

- возможность систематизированного хранения (и быстрого поиска)

дополнительной (не обязательной для составления расписания)

информации: фото преподавателей, кураторы учебных групп (классные

руководители), данные о представителях родительских комитетов,

должности, ученые степени и звания, ответственные за аудиторию, ...

- быстрое получение полной информации по сочетанию факторов (все группы

потока, все дисциплины преподавателя Х с указанием нагрузки по неделям

и видам занятий, какие дисциплины разрешено проводить в компьютерном

классе, личные пожелания к проведению занятий любого преподавателя,

перечень праздничных дат в сирийской группе и мн. др.);

- возможность просмотра, печати и редактирования готового расписания с

проверкой корректности изменений (занятость ауд., преп.,

групп/подгрупп, ...);

- в любой момент можно заказать модуль формирования расписания для

подготовленных данных;

- расписание формируется на вашем компьютере с возможностью изменения

настроек, контроля, правки и т.п. (без возможности изменения часов,

дисциплин, преподавателей, ...);

- если обнаружена необходимость незначительного (до 10%) изменения

исходных данных (обнаружены ошибки, внезапные дополнения), возможен

повторный заказ модуля формирования расписания за незначительную

плату;

- в любой момент можно перейти на версию стандарт;

Методист – стандарт.

Помимо возможностей версии virtual включает в себя:

- Модуль автоматического составления расписания;

- Распределение и контроль учебной нагрузки ;

- Учет методических рекомендаций и личных пожеланий преподавателей

("окна", метод. дни, теннис по четвергам, день рождения сына, ...);

- Cтрогое выдерживание последовательности прохождения дисциплины (лекции

- 2 час., практические - 4 час., лабораторные ...);

- Составление расписания для любого типа учебного заведения: недельное

или семестровое (от 1 до 23 недель);

- Учет объединения групп (классов) в потоки и/или разбиение их на

подгруппы;

- Закрепление специальных аудиторий (компьютерные классы, лингафонные

кабинеты, бассейн, ...);

- Учет занятости преподавателей и аудиторий (совместительство,

использование общей учебной базы);

- Учет времени переходов между корпусами;

- Выходные и праздничные дни - общие и для отдельных учебных групп

(национальные, религиозные, государственные праздники);

- Указание причин "неудачного назначения" занятий (занята аудитория,

преподаватель назначен в нежелательный для него день недели) с

возможностью их "ручного" исправления;

- Возможность многократного автоматического "улучшения" расписания;

- Возможность изменения значимости учитываемых при составлении

расписания факторов;

- Возможность введения приоритетов преподавателей - степени учета их

индивидуальных пожеланий;

Ограничения функциональности “Методиста”:

- многосменные расписания ограничены максимальным кол-вом уроков в день

– 7;

- занятия всегда начинаются с первого урока / пары (при необходимости

возможно назначение на первую пару "свободного занятия" );

- не учитывется время перемен (например для проверки возможности

перехода между корпусами);

- не учитывается "уровень сложности" занятий для их рационального

распределения по неделе (хотя имеется возможность делать это косвенным

образом) ;

- продолжительность занятий постоянна (невозможно составление расписания

для 30 мин. урока в младших и 45 мин. - в старших классах).

Приложение 2. Листинг программного модуля методов решения задачи

автоматического составления расписания

uses

SysUtils;

type MyArray= array of array of real;

MyArray_X = array of longint;

procedure Step_Dual_simplex(var a:MyArray; m,n,i1,j1:integer);

{производит один шаг двойственного симплекс-метода,

ведущий элемент - a[i1,j1]}

var i,j:integer;

b,b1:array of real;

begin

SetLength(b,m);Setlength(b1,n);

for i:=0 to m-1 do b[i]:=a[i,j1];

for i:=0 to n-1 do b1[i]:=a[i1,i];

for i:=0 to m-1 do

for j:=0 to n-1 do begin

if (i=i1) and (j=j1) then a[i,j]:=1/b[i1]

else

if (i=i1) then a[i,j]:=b1[j]/b[i1]

else

if (j=j1) then a[i,j]:=-b[i]/b[i1]

else a[i,j]:=a[i,j]-b[i]*b1[j]/b[i1];

end;

for i:=0 to n-1 do a[i1,i]:=0;a[i1,j1]:=-1;

Finalize(b);Finalize(b1);

end;

function Lexikogr_few(a:MyArray; m,n:integer;i,i1:integer):boolean;

{первый столбец лексикографически меньше второго}

var j:integer;

begin

Lexikogr_few:=false;

j:=0;

while (a[j,i]=a[j,i1]) and (j0) then Find_nu:=Round(Int(a[j,i1]/a[j,i]));

end;

procedure Full_Integer_Simplex(var x:MyArray_X; a:MyArray; m,n:integer);

{Полностью целочисленный алгоритм задачи линейного целочисленного

программирования,

см. Ху Т. "Целочисленное программирование и потоки в сетях", стр. 300-

309,

a - матрица размером m+n+2*n+1, по аналогии:

Требуется найти максимум

z= - 10x1 - 14x2 - 21x3

2x1 + 2x2 + 7x3 >= 14

8x1 + 11x2 + 9x3 >= 12

9x1 + 6x2 + 3x3 >=10,

тогда матрица а будет выглядеть:

1 10 14 21

0 -1 0 0

0 0 -1 0

0 0 0 -1

-14 -2 -2 -7

-12 -8 -11 -9

-10 -9 -6 -3

0 0 0 0,

процедура возвращает вектор X, первые m компонент которого - искомое

решение,

если последняя компонента вектора = 1, то решения не существует или

оно = бесконечности}

var i,i1:integer;

j,j1:integer;

alfa:real;

begin

repeat

i:=1;

while (i=0) do Inc(i); {производящая строка}

if i=0) do Inc(j);

if j0) and (-a[i,i1]/j1>alfa) then alfa:=-a[i,i1]/j1;

end;

{writeln(alfa,' ',i,' ',j);readln;}

{получение отсечения Гомори}

for i1:=0 to n-1 do if a[i,i1]>0 then a[m-1,i1]:=round(Int(a[i,i1]/alfa))

else begin

a[m-1,i1]:=round(Int(a[i,i1]/alfa));

if Frac(a[i,i1]/alfa)<>0 then a[m-1,i1]:=a[m-1,i1]-1;

end;

Step_Dual_simplex(a,m,n,m-1,j);

end;

until (i>=m-1) or (j>=n);

for i:=0 to m-1 do x[i]:=round(a[i,0]);

if j>=n then x[m-1]:=1 else x[m-1]:=0;

end;

procedure Step_One_Simplex(var a:MyArray; m,n,i:integer);

var i1,i2:integer;

{Один шаг прямого целочисленного метода (производящая строка - последняя

i - производящий столбец)}

begin

for i1:=0 to m-2 do a[i1,i]:=a[i1,i]/(-a[m-1,i]);

for i2:=0 to n-1 do

for i1:=0 to m-2 do

if i2<>i then a[i1,i2]:=a[i1,i2]+a[i1,i]*a[m-1,i2];

end;

procedure Direct_Integer_Simplex(var x:MyArray_X; a:MyArray; m,n:integer);

{Прямой целочисленный алгоритм задачи целочисленного линейного

программирования,

см. Ху Т. "Целочисленное программирование и потоки в сетях", стр. 344-

370,

a - матрица размером m+n+3*n+1 по аналогии:

требуется максимизировать

z = x1 + x2 + x3

-4x1 + 5x2 + 2x3 =0

возвращает вектор X - на месте единичной матрицы искомое решение,

если в последней компоненте единица - ошибка при расчетах}

var i,j,i1,j1:integer;

bool:boolean;

b,b1,b2:array of byte;

r:real;

begin

SetLength(b,m);SetLength(b1,m);

for i:=0 to m-1 do b1[i]:=0;

{проверка условия оптимальности}

bool:=false;

for j:=1 to n-1 do if a[0,j]0 then

begin

for i:=0 to m-3 do a[i,j]:=a[i,j]/a[m-2,j];

if not bool then begin j1:=j;bool:=true;end else if

Lexikogr_few(a,m,n,j,j1)

then j1:=j;

end;

{поиск производящей строки}

for j:=1 to n-1 do

if a[m-2,j]>0 then

for i:=0 to m-3 do a[i,j]:=a[i,j]*a[m-2,j];

for i:=0 to m-1 do b[i]:=0;

i:=1; while (i0) and (a[i,0]/a[i,j1]0) and (a[i,0]/a[i,j1]0 then a[m-

1,i]:=round(Int(a[i1,i]/a[i1,j1]))

else begin

a[m-1,i]:=round(Int(a[i1,i]/a[i1,j1]));

if Frac(a[i1,i]/a[i1,j1])<>0 then a[m-1,i]:=a[m-1,i]-1;

end;

Step_One_Simplex(a,m,n,j1);

end;

bool:=false;

if i1=m-1 then x[m-1]:=1 else x[m-1]:=0;

Finalize(b);Finalize(b1);

end;

-----------------------

1, если на потоке r лекцию sr читает преподаватель p;

0 – в противном случае;

[pic]

1, если в группе kr практическое занятие qkr проводит преподаватель p;

0 – в противном случае;

[pic]

1, если на потоке r в день t на паре j читается лекция sr;

0 – в противном случае;

[pic]

1, если на потоке r в день t на паре j у группы kr проводится практическое

занятие qkr;

0 – в противном случае;

(1)

(2)

[pic]

(3)

[pic]

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(15)

(14)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

Н_пр-ля (pk)

Имя

Фамилия

Отчество

Адрес

Телефон

Уч. степень

Уч. звание

Кафедра

Н_группы(pk)

Название

Количество

Н_потока(pk)

Описание

Н_потока(pk,fk)

Н_группы(pk,fk)

Н_ауд-ии(pk,fk)

Н_об-ия (pk,fk)

Описание

Н_ауд-ии(pk)

Н_пр-та(pk)

Описание

Н_об-ия (pk)

Число часов

Название

Н_записи (pk)

Н_пр-ля (fk)

Н_потока (fk)

Н_пр-та (fk)

Н_об-ия (fk)

Пара

Нач_неделя

Кон_неделя

A Xa B Xb C Xc D Xd E

Страницы: 1, 2

Рефераты

Разработка математической модели и ПО для задач составления расписания