|
|
Диплом: Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах
Диплом: Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах
Министерство общего и профессионального образования РФ
Светлоградский педагогический колледж
Дипломная работа
Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5 - 9 классах
Выполнила:
Руководитель:
Светлоград, 2000 г.
Содержание:
Введение: | | 3 | Глава 1. | Теоретические аспекты обучению уравнений в 5 - 9 классах с использованием самостоятельной работы. | 4 | § 1. | Из истории возникновения уравнений. | 4 | § 2. | Содержание и роль линий уравнений в современном школьном курсе математики. | 8 | § 3. | Основные понятия линий уравнения. | 11 | § 4. | Обобщенные приемы решения уравнений с одной переменной в школьном курсе алгебры. | 23 | § 5. | Методика изучения основных классов уравнений и их систем. | 28 | Глава II. | Методико - педагогические основы использования самостоятельной работы, как средство обучения решению уравнений. | 36 | § 1. | Организация самостоятельной работы при обучении решению уравнений. | 36 | § 2. | Исследовательская работа | 69 | Заключение | | 73 | Библиография | | 74 | Приложение | | 75 |
Введение
Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение
отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения
не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим
целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и
количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов
уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные
вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность,
связь и т. д.). Так же для формирования умения решать уравнения большое
значение имеет самостоятельная работа учащегося при обучении решения
уравнений.
Проблема методики формирования умений самостоятельной работы является
актуальной для учителей всех школьных предметов, в том числе и для учителей
математики. Ее решение важно еще и с той точки зрения, что для успешного
овладения современным содержанием школьного математического образования
необходимо повысить эффективность процесса обучения в направлении активизации
самостоятельной деятельности учащихся. Для этого требуется четко определить
систему умений и навыков, овладение которыми приводит к самостоятельному
выполнению работ различного характера. Важным также является раскрытие
процесса формирования умений и навыков самостоятельной работы при обучении
курсам математики, при этом необходимо показать, как в ходе преподавания
математики учитель может осуществить формирование у учащихся отмеченных выше
умений и навыков.
Поэтому я решила работать над данной темой дипломной работы: «Самостоятельная
деятельность, как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах.
Я хочу в своей дипломной работе рассмотреть вопросы связанные с изучением
уравнений в курсе математики и как при помощи схемной работы улучшить
качество усвоения материала дипломной темы.
Поэтому при работе над дипломной работы я перед собой поставила следующие
цели и задачи.
1. Изучить психолого - педагогическую и методическую литературу,
Касающуюся изучению уравнений. Проанализировать школьные учебники и выделить
в них место уравнений.
2. Составить конспекты уроков обучения решения различных видов уравнений
с использованием самостоятельной работы.
3. Разработать самостоятельных работ для учащихся по различным темам
уравнений.
Провести наблюдения за использованием класса в процессе самостоятельной
работы.
Глава I. Теоретические аспекты обучению уравнений в 5 - 9
классах с использованием работы
§ Из истории возникновения уравнений.
Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений.
Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при
этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными
величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких
уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными
величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.
Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были
известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени
[1] еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с
нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного
характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные
уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную
алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются,
кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
  
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает
по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне
до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят
только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний
относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных
текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения
квадратных уравнений.
Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней
содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и
решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает
неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач.
Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые
числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы
не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е.
10 + х, другое же меньше, т. е.. 10 - х. Разность между ними
2х. Отсюда уравнение
(10+x)(10—x) =96,
или же
100 —x2 = 96.
x2 - 4 = 0
Отсюда х == 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х
= - 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только
положительные числа.
Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых
чисел, то мы придем к решению уравнения
y(20-y)=96
y2 - 20y+96=0
Ясно, что, выбирая в качестве нtизвестного полуразность искомых чисел,
Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного
квадратного уравнения
Квадратные уравнения в Индии
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате
«Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом
Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее
правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической
форме:
ax2 + bх = с, а> 0. (1)
В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило
Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных
задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких
соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так
ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая
алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.
3 а д а ч а 13.
«Обезьянок резвых стая | А двенадцать по лианам | Всласть поевши, развлекалась | Стали прыгать, повисая | Их в квадрате часть восьмая | Сколько ж было обезьянок, | На поляне забавлялась | Ты скажи мне, в этой стае?» |
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней
квадратных уравнений.
Соответствующее задаче 13 уравнение
Бхаскара пишет под видом
 x2 - 64x = - 768
и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим
частям 322, получая затем:
x2 - б4х + 322 = -768 + 1024,
(х - 32)2 = 256,
х - 32= ±16,
x1 = 16, x2 = 48.
Квадратные уравнения у ал-Хорезми
В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и
квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их
следующим образом:
1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.
2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.
3) «Корни равны числу», т. е. ах = с.
4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.
5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.
6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2.
Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого
из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во
внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает
способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-
мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря
о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при
решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все
математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в
конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных
квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила
решения, а затем их геометрические доказательства.
Приведем пример.
Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается
корень уравнения х2 + 21 = 10х).
Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5,
умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень
из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или
же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Трактат ал-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой
систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их
решения.
§ 2. Содержание и роль линии уравнений в современном школьном курсе математики
Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного
курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в
различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.
Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой
древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач
математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими
писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако
уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение
величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей
современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений.
Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В
дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений.
Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки
зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Таким образом,
был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой
для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.
Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками
(VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых
уравнения приводились к стандартному виду (приведение подобных членов,
перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака), а затем
европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими
язык современной алгебры (использование букв, введение символов
арифметических операций, скобок и т. д.). На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как
специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом,
областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть
до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области
приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов
математики. В этом процессе все яснее становилась важность роли, которую
играло понятие уравнения в системе алгебраических понятий.
Открытие координатного метода (Декарт, XVII в.) и последовавшее за ним
развитие аналитической геометрии позволили применить алгебру не только к
задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных
геометрических фигур. Эта линия развития алгебры упрочила положение уравнения
как ведущего алгебраического понятия, которое связывалось теперь уже с тремя
главными областями своего возникновения и функционирования:
a) уравнение как средство решения текстовых задач;
b) уравнение как особого рода формула, служащая в алгебре объектом изучения;
c) уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или
координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.
Каждое кз этих представлений оказалось в том или ином отношении полезным.
Таким образом, уравнение как общематематическое понятие многоаспектно, причем
ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идет
о проблемах школьного математического образования.
Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его
изучение в современной методике математики организовано в содержательно -
методическую линию — линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются
вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов
их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой,
функциональной и другими линиями школьного курса математики.
Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в
алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений
и неравенств в школьном курсе математики.
а) Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным
образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод
широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением
приемам, используемым в приложениях математики.
В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает
математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что
прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются
основной частью математических средств, используемых в математическом
моделировании.
б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений
раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов
уравнений, и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов,
относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной
математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно
наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и
методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они
описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к
отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие
понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное,
равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть
раскрыты в линии уравнений
в) Для линии уравнений характерна направленность на установление связей с
остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана
с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления
взаимосвязи этих линий,— это идея последовательного расширения числовой
системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах
анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с
решением каких-либо уравнений и их систем. Области иррациональных и
логарифмических выражений связаны соответственно с уравнениями хk =
b (k - натуральное число, большее 1) и ax=b.
Связь линии уравнений с числовой линией двусторонняя. Приведенный пример
показывает влияние уравнений на развертывание числовой системы. Обратное
влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область
расширяет возможности составления и решения различных уравнений. Например,
введение арифметического квадратного корня из рациональных чисел позволяет
записывать корни не только уравнений вида х2 = b, где b—
неотрицательное рациональное число, но и любых квадратных уравнений с
рациональными коэффициентами и неотрицательным дискриминантом.
Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна из
важнейших таких связей — приложения методов, разрабатываемых в линии
уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области
определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т.
д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние
как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В
частности, функциональные представления служат основой привлечения
графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их
систем.
С функциональной линией непосредственно связан также и небольшой круг вопросов
школьного курса математики, относящихся к дифференциальным и функциональным
уравнениям. Сама возможность возникновения дифференциального уравнения кроется
в наличии операции дифференцирования (может быть поставлен вопрос о нахождении
для заданной функции ¦ другой функции F, такой, что F'
(x)=f (х)).
Однако сама по себе возможность выделения дифференциальных уравнений в
школьном курсе математики еще не следует из того факта, что имеются
формальные основания для их рассмотрения. Как известно, теория
дифференциальных уравнений обладает большой сложностью. В школьном обучении
эта теория представлена лишь своими начальными частями, которые не образуют
связного целого, а относятся к различным конкретным, по большей части
прикладным вопросам.
По-видимому, понятие дифференциального уравнения допускает более широкое
представление в школьном курсе. В настоящее время этот вопрос является
открытой методической проблемой.
В отличие от дифференциальных функциональные уравнения (неизвестным в
которых, так же как и в дифференциальных, является функция) почти не
представлены в школьном курсе математики. Единичные задания, связанные с этим
классом уравнений, могут быть использованы при рассмотрении показательной
функции, в связи с понятием обратной функции и др.
В качестве последнего примера отметим взаимосвязь линии уравнений с
алгоритмической линией. Влияние же алгоритмической линии на линию уравнений
заключается прежде всего в возможности использования ее понятий для описания
алгоритмов решения уравнений и систем различных классов.
§ 3. Основные понятия линии уравнений
1. О трактовке понятия уравнения.
Понятие уравнения относится к важнейшим общематематическим понятиям. Именно
поэтому затруднительно предложить его определение, одновременно и строгое с
формальной точки зрения, и доступное для учащихся, приступающих к овладению
школьным курсом алгебры.
Логико-математическое определение уравнения можно привести в такой форме: пусть
на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х —
переменная на М; тогда уравнением на множестве М относительно
х называется предикат вида а(х)=b (х), где а(х) и
b(х)—термы относительно заданных операций, в запись которых входит символ
х. Аналогично определяется уравнение от двух переменных и т. д.
Принятым в логике терминам «терм» и «предикат» соответствуют термины школьной
математики «выражение» и «предложение с переменной». Поэтому наиболее близко
к приведенному формальному определению следующее определение: «Предложение с
переменной, имеющее вид равенства между двумя выражениями с этой переменной,
называется уравнением»
Анализируя приведенное математическое определение уравнения, можно выделить в
нем два компонента. Первый состоит в том, что уравнение — это особого рода
предикат. Второй уточняет, какого именно рода: это равенство, соединяющее два
терма, причем термы также имеют определенный специальный вид. При изучении
материала, относящегося к линии уравнений и неравенств, оба компонента играют
значительную роль.
Первый — смысловой компонент, важен прежде всего для уяснения понятия
корня уравнения. Кроме того, смысловой компонент почти всегда используется при
обоснованbи корректности того или иного преобразования уравнения.
Второй компонент относится к формальным особенностям записи, изображающей
уравнение. Назовем этот компонент знаковым. Он важен в случаях, когда
запись уравнения подвергается различным преобразованиям: зачастую такие
преобразования производятся чисто механически, без обращения к их смыслу.
Возможность использования в школьном обучении подхода к понятию уравнения,
включающего явно упоминание о предложении с переменной, зависит от
присутствия этого термина и терминов «истина», «ложь» в обязательном
материале курса математики. Если их нет, то привести подобное определение
невозможно. В этом случае смысловой компонент понятия уравнения переходит в
определение другого понятия, тесно связанного с понятием уравнения,— корня
уравнения. Получается система из двух терминов: термин «уравнение» несет в
себе признаки знакового компонента, а термин «корень уравнения» учитывает
смысловой компонент. Такое определение приведено, например, в учебнике
Колмогорова А. Н. "Алгебра и начала анализа"[с. 330]: «Равенство с переменной
называется уравнением. Значение переменной, при котором равенство с
переменной обращается в верное числовое равенство, называется корнем
уравнения»..
Часто, особенно в начале систематического курса алгебры, понятие уравнения
вводится посредством выделения его из алгебраического метода решения задач. В
этом случае независимо от того, каков текст определения, существенным
оказывается подход к понятию уравнения, при котором оно представляет косвенную
форму задания некоторого неизвестного числа, имеющего в соответствии с сюжетом
задачи конкретную интерпретацию. Например, понятие уравнения вводится на
материале текстовой задачи: «Конверт с новогодней открыткой стоит 17 к. Конверт
дешевле открытки на 5 к. Найти стоимость открытки». Переход к определению
уравнения осуществляется на основе анализа некоторых формальных особенностей
записи .х+(х-—5)= 17, выражающей содержание данной задачи в алгебраической
форме. С помощью этого же сюжета вводится и понятие корня уравнения. Вот эти
определения: «Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой,
называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного,
при котором это уравнение обращается в верное равенство». Указанный способ
введения понятия уравнения соответствует еще одному компоненту понятия
уравнения — прикладному.
Помимо выделенных компонентов понятия уравнения (смыслового, знакового,
прикладного), в школьной математике большую роль играет компонент, при
котором уравнение трактуется как равенство двух функций. Его роль проявляется
в изучении графического метода решения уравнений. Однако в известных нам
учебниках алгебры этот компонент не кладется в основу определения уравнения.
Еще один подход к определению понятия уравнения получается при сопоставлении
области определения уравнения и множества его корней. Обычно множество корней
уравнения — собственное подмножество его области определения. С другой
стороны, при решении уравнений приходится использовать преобразования,
которые опираются на тождества, т. е. на равенства, истинные на всей области
определения. Выделенное здесь противопоставление тождества и уравнения может
быть положено в основу определения уравнения: «Буквенное равенство, которое
не обязательно превращается в верное численное равенство при допустимых
наборах букв, называется уравнением»
Формирование понятия уравнения требует использования еще одного термина:
«решить уравнение». Различные варианты его определения отличаются друг от
друга, по существу, только наличием или отсутствием в них термина
«множество».
Таким образом, при освоении понятия уравнения необходимо использовать термины
«уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение». При этом
наряду с компонентами понятия уравнения, входящими в текст определения, надо
включать и все другие его компоненты по мере развертывания материала данной
линии.
В определении понятия уравнения используется один из двух терминов: «переменная»
или «неизвестное». Различие между ними состоит в том, что переменная пробегает
ряд значений, не выделяя ни одного из них специально, а неизвестное
представляет собой буквенное обозначение конкретного числа (поэтому этим
термином удобно пользоваться при составлении уравнений по текстовым задачам).
Вопросы, связанные с выбором одного их этих терминов для использования в
школьной практике, в настоящее время еще нельзя считать окончательно решенными.
Выбор того или иного из них влечет определенные различия в развертывании
содержания линии уравнений и неравенств. Так, с термином «переменная» связана
операция подстановки числа вместо буквы, поэтому в уравнение а(х)=b[х)
можно подставлять вместо х конкретные числа и находить среди них корни.
Термин же «неизвестное» обозначает фиксированное число; подставлять число на
место буквы, обозначающей неизвестное, поэтому нелогично. Нахождение корней
уравнения а{х)=b{х) с этой точки зрения должно осуществляться с помощью
действий, при которых это равенство рассматривают как верное и пытаются
привести его к виду х=х0, где х0 —
числовое выражение.
При описании методики мы будем пользоваться термином «неизвестное», который
ближе, чем «переменная», связан с алгебраическим методом решения текстовых
задач и тем самым с прикладной направленностью линии уравнений и неравенств.
2. Равносильность и логическое следование.
Рассмотрим логические средства, используемые в процессе изучения уравнений и
неравенств. Наиболее важным среди них является понятие равносильности.
Напомним, что уравнения называются равносильными, если равносильны
соответствующие предикаты, т. е. если выполнены условия: области определения
уравнений одинаковы и множества их корней равны. Имеются два пути установления
равносильности уравнений. Первый: используя известные множества корней
уравнений, убедиться в их совпадении; например, уравнения х + 1=х + 2 и
x2 + 1=x2 + 2 равносильны, потому что не имеют
корней. Второй: используя особенности записи уравнений, осуществить
последовательный переход от одной записи к другой посредством преобразований,
не нарушающих равносильности.
Очевидно, что для большинства заданий второй путь более характерен. Это и
понятно, ведь равносильность в теории уравнений как раз и используется для
того, чтобы указать конкретные правила для решения уравнений. Однако в
преподавании ограничиваться им нецелесообразно, поскольку он относится только
к практическому применению равносильности и требует первого для своего
обоснования. Вместе с тем усвоение понятия равносильности как равносильности
предикатов требует значительной культуры мышления и не может быть усвоено на
начальных этапах изучения школьного курса алгебры без специальных
значительных усилий.
В отношении формирования понятия равносильности и его применения к решению
уравнений учебные пособия по алгебре можно разделить на две группы. К первой
относятся те пособия, в которых использование равносильных преобразований
основано на явном введении и изучении понятия равносильности; ко второй — те,
в которых применение равносильных преобразований предшествует выделению
самого понятия. Методика работы над понятием равносильности имеет при
указанных подходах значительные отличия.
В связи с рассматриваемым вопросом в изучении материала линии уравнений и
неравенств можно выделить три основных этапа. Первый этап охватывает
начальный курс школьной математики и начало курса алгебры. Здесь происходит
ознакомление с различными способами решения отдельных, наиболее простых
классов уравнений. Используемые при этом преобразования получают индуктивное
обоснование при рассмотрении конкретных примеров. По мере накопления опыта
индуктивные рассуждения все чаще заменяются такими, где равносильность
фактически используется, но сам термин не употребляется. Длительность этого
этапа может быть различной; она зависит от методических установок, принятых в
данном учебном пособии.
На втором этапе происходит выделение понятия равносильности и сопоставление
его теоретического содержания с правилами преобразований, которые выводятся
на его основе. Длительность этого этапа незначительна, поскольку на нем
происходит только выделение этого понятия и его использование на нескольких
теоретических примерах.
На третьем этапе на основе общего понятия равносильности происходит
развертывание и общей теории, и теории отдельных классов уравнений. Такой
стиль характерен для курса алгебры и начал анализа, изучаемого в старших
классах средней школы. Он применяется и в некоторых пособиях по алгебре для
неполной средней школы.
Помимо равносильных, к изучению материала линии уравнений применяются и
другие, вообще говоря, не равносильные преобразования. Большая часть из них в
школьном курсе не выявляется, хотя они более или менее существенно
используются, в частности, при изучении уравнений. Единственным исключением
служит понятие логического следования, которое в ряде учебных пособий
является предметом изучения. Методика работы с понятием логического
следования (а также с представлением о нем в случае, если понятие не
вводится) имеет много общих черт с методикой изучения равносильности и
равносильных преобразований.
Логическое следование начинает применяться значительно позже равносильности и
осваивается в качестве некоторого дополнения к нему. При решении уравнений
при прочих равных условиях предпочтение отдается равносильному
преобразованию; логическое следование применяется лишь тогда, когда
соответствующего равносильного преобразования найти не удается. Это, однако,
не означает, что использование логического следования — вынужденная мера.
Нередко в практике работы учителей логическое следование применяется как
прием, упрощающий процесс решения, если сохранение равносильности может быть
достигнуто сравнительно дорогой ценой.
Среди неравносильных преобразований есть преобразования, не являющиеся
логическим следованием. Например, переход к рассмотрению частного случая
(пример: переход от уравнения а -b= 0 к рассмотрению уравнения а=0).
Такие переходы можно рассматривать как практические приемы, позволяющие
сосредоточить внимание на отдельных шагах процесса решения уравнения.
3. О классификации преобразований уравнений и их систем.
Можно выделить три основных типа таких преобразований:
1) Преобразование одной из частей уравнения.
2) Согласованное преобразование обеих частей уравнения.
3) Преобразование логической структуры.
Поясним эту классификацию.
Преобразования первого типа используются при необходимости упрощения
выражения, входящего в запись решаемого уравнения. Например, решая уравнение
cos x-tg x=l, можно пытаться заменить выражение в левой части
более простым. В данном случае соответствующее преобразование приводит к
уравнению sin x= 1, неравносильному исходному за счет изменения области
определения. Возможность получения при такой замене уравнения, неравносильного
данному, приходится учитывать при изучении некоторых типов уравнений, например
тригонометрических или логарифмических. В классе дробно-рациональных уравнений
с этим явлением приходится сталкиваться гораздо реже. (Здесь это связано с
возможностью потери корней при сокращении дроби.) Наконец, в классе целых
алгебраических уравнений рассматриваемый тип преобразований всегда приводит к
уравнениям, равносильным данным.
Преобразование одной из частей уравнения используют раньше всех других
преобразований уравнений, это происходит еще в начальном курсе математики.
Прочность владения навыком преобразований этого типа. имеет большое значение
для успешности изучения других видов преобразований, поскольку они
применяются очень часто.
Основой преобразований данного типа являются тождественные преобразования.
Поэтому классифицировать их можно в соответствии с классификацией
тождественных преобразований, например раскрытие скобок, приведение подобных
членов и т. д.
Преобразования второго типа состоят в согласованном изменении обеих
частей уравнения в результате применения к ним арифметических действий или
элементарных функций. Общей основой всех преобразований этого типа является
логический принцип, выражающий характеристическое свойство равенства выражений:
если выражения а и b равны и в выражении F (х) выделена
переменная х, которая может принимать значение а, то выражения
F (а) и F {b) равны: a = b =>F  .
Изучение и использование преобразований уравнений и их систем, с одной
стороны, предполагают достаточно высокую логическую культуру учащихся, а с
другой стороны, в процессе изучения и применения таких преобразований имеются
широкие возможности для формирования логической культуры. Большое значение
имеет выяснение вопросов, относящихся к характеризации производимых
преобразований: являются ли они равносильными или логическим следованием,
требуется ли рассмотрение нескольких случаев, нужна ли проверка? Сложности,
которые приходится здесь преодолевать, связаны с тем, что далеко не всегда
возможно привести характеризацию одного и того же преобразования однозначно:
в некоторых случаях оно может оказаться, например, равносильным, в других
равносильность будет нарушена.
В итоге изучения материала линии уравнений учащиеся должны не только овладеть
применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и
научиться использовать логические средства для обоснования решений в случаях,
когда это необходимо.
4. Логические обоснования при изучении уравнений.
При изучении материала линии уравнений значительное внимание уделяется
вопросам обоснования процесса решения конкретных заданий. На начальных этапах
изучения курса алгебры и в курсе математики предшествующих классов эти
обоснования имеют эмпирический, индуктивный характер. По мере накопления
опыта решения уравнений, систем различных классов все большую роль
приобретают общие свойства преобразований. Наконец, достигнутый уровень
владения различными способами решения позволяет выделить наиболее часто
используемые преобразования (равносильность и логическое следование). Учебные
пособия по алгебре имеют существенные различия в отношении описанных способов
обоснования. Тем не менее выделяются все указанные направления, причем в
общей для них последовательности. Кратко рассмотрим каждое из этих
направлений.
Эмпирическое обоснование процесса решения. Таким способом
описываются приемы решения первых изучаемых классов уравнений. В частности, это
характерно для уравнений 1-й степени с одним неизвестным. Методика изучения
этих уравнений состоит в предъявлении алгоритма решения таких уравнений и
разборе нескольких типичных примеров.
Указанный алгоритм формируется, естественно, далеко не сразу. Перед этим
разбирается несколько примеров, причем цель рассмотрения состоит в выделении в
последовательности действий нужных для описания алгоритма операций. Объяснения
учителя могут быть такими: «Нужно решить уравнение 5x+4=3x+10. Постараемся все
члены, содержащие неизвестное, собрать в одной части, а все члены, не
содержащие неизвестное,— в другой части уравнения. Прибавим к обеим частям
уравнения число (—4), данное уравнение примет вид 5х=3x+10—4. Теперь прибавим к
обеим частям уравнения (—3х), получим уравнение 5х—3x=10—4. Приведем
подобные члены в левой части уравнения, а в правой вычислим значение выражения;
уравнение примет вид 2х=6. Разделим обе части уравнения на 2, получим х=3».
Этот рассказ сопровождается последовательно возникающей на доске записью
преобразований:
5х+4=3х+10
5х=3х+10—4
5х—3х=10—4
........
Анализируя решение, учитель может прийти к правилам решения уравнений 1-й
степени с одним неизвестным. Обратим внимание на некоторые формальные пробелы
этого изложения. Прежде всего, в таком рассказе не акцентируется внимание на
том, что под действием преобразований уравнение преобразуется в некоторое
новое уравнение. Ученики как бы имеют дело все время с тем же уравнением.
Если бы упор делался непосредственно на переход от одного уравнения к
другому, то это потребовало бы более внимательного анализа представлений,
связанных с равносильностью, что как раз не характерно для первых этапов
обучения алгебре.
Далее, вопрос о том, все ли корни уравнения найдены, здесь не ставится. Если
даже он и возникает по ходу обсуждения процесса решения, то ответ на него,
как правило, не дается. Основную роль играют действия по переносу членов из
одной части уравнения в другую, группировка подобных членов.
Таким образом, вопросы обоснования решения уравнения стоят на втором плане, а
на первом — формирование прочных навыков преобразований. Отсюда можно сделать
вывод: на этом этапе проверка найденного корня служит необходимой частью
обоснования правильности решения.
Дедуктивное обоснование процесса решения уравнений без явного
использования понятия равносильности. Разобранное обоснование
процесса решения не всегда может быть эффективно использовано при изучении
других классов уравнений. Тем или иным способом к изучению материала линии
уравнений нужно привлекать различные приемы дедуктивного обоснования. Это
связано с возрастанием сложности предлагаемых заданий по сравнению с исходным
классом (уравнения 1-й степени с одним неизвестным). При этом постоянно
приходится опираться на свойства числовой системы и основные понятия теории
уравнений (корень уравнения, множество корней уравнения, что значит «решить
уравнение»).
При наличии в курсе теоретико-множественных понятий дедуктивное обоснование
решения уравнений проводится так: при переходе от рассмотрения уравнения ¦=g к
уравнению ¦1==g1 обращается внимание на совпадение
множеств корней этих уравнений и этот факт обосновывается при помощи свойств
равенства числовых выражений. Например, с этой точки зрения переход от
уравнения 3х+2у=5 к уравнению у=—1,5х+2,5 обосновывается с
использованием свойства: если а=b—верное равенство, то а+с=b+с
и ас=bс также верные равенства.
При отсутствии теоретико-множественных представлений тот же переход производится
тем же, по существу, способом, но с использованием конкретного решения одного
из этих двух уравнений. Рассуждения при этом проводятся так: «Пусть (х0
, y0) — решение первого уравнения, т. е. 3x0+2y
0=5. Пользуясь свойствами числовых равенств, данное равенство
можно записать в виде y0= — 1,5х0+2,5, значит, (
х0, y0) — решение второго уравнения». Так же
проверяется обратное заключение.
Внешне различие между двумя способами обоснования (помимо того, что в первом
используется термин «множество») проявляется в том, что в первом из них
пользуются свойствами равенств с переменными, а во втором — свойствами
числовых равенств. Сложность обучения любому из этих способов примерно
одинакова.
Переход к дедуктивному обоснованию может производиться на различном
материале. Например это можно сделать при изучении линейного уравнения с
двумя переменными, системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными,
линейного уравнения с одним неизвестным.
Необходимо, однако, отметить, что, каким бы ни был способ обоснования, он не
является самоцелью в курсе школьной математики. Цель изучения обоснований
состоит в обеспечении осознанности процесса решения. После того как она
достигнута, дальнейшее использование уже обоснованного приема приводит к
формированию навыка, которым учащиеся пользуются в дальнейшем, возвращаясь к
обоснованию приема только изредка.
Введение для обоснования решения уравнений и их систем понятий
равносильности и логического следования. Рассмотренные приемы
обоснования опираются на связь линии уравнений и неравенств с числовой
системой. Однако последовательное применение этих приемов затруднительно из-за
громоздкости рассуждении. Поэтому на определенном этапе изучения содержания
курса алгебры происходит выявление общелогической системы обоснований. Уже
говорилось о том, что в эту систему входят понятия равносильности и логического
следования.
Обратимся к разобранному уравнению 5х+4=3x+10. С использованием
равносильности его решение проводится так: «Поскольку перенос членов
уравнения из одной части в другую с изменением знака — равносильное
преобразование, то, осуществив его, приходим к уравнению, равносильному
данному: 5х—3х=10—4. Упрощая выражения в левой и правой частях уравнения,
получим 2х=6, откуда х=3».
Отметим особенности приведенного решения по сравнению с изложенным ранее.
Прежде всего, оно более свернуто, предполагает намного более высокий уровень
владения материалом курса алгебры. Поэтому применению такого способа решения
уравнений и их систем должна предшествовать большая подготовительная работа.
Объем предварительного материала зависит от общих методических установок,
используемых в учебных пособиях. Например, в учебниках алгебры для VI—VIII
классов под редакцией А. И. Маркушевича понятие о равносильности вводится
спустя полтора года после начала изучения систематического курса алгебры. В
других курсах оно вводится гораздо позже, в старших классах.
В случае отсутствия понятий равносильности и логического следования описание
процесса решения также становится постепенно все более сжатым. Отсутствие
указанных терминов проявляется в том, что само описание решения не содержит
элементов обоснования, которое в этих условиях произвести достаточно сложно.
По этой причине в пособиях, где равносильность и логическое следование
появляются поздно, сравнительно большое внимание уделяется формированию не
общих приемов решения уравнений, а навыков решения уравнений тех или иных
классов.
Использование логической терминологии при описании решений позволяет
параллельно с нахождением корней получать также и логическое обоснование.»
Особенно велика роль логических понятий при итоговом обобщающем повторении
курса алгебры и всего курса математики средней школы. Поскольку при этом
необходимо выявить структуру крупных частей изученного материала, отсутствует
возможность вновь пройти весь путь нахождения приемов решений различных
классов уравнений, неравенств и их систем. Логические понятия позволяют не
только быстро восстановить путь нахождения таких приемов, но и одновременно
обосновать их корректность. Тем самым происходит развитие средств логического
мышления учащихся. Учитывая это, на этапах обобщающего повторения
целесообразно формулировать свойства равносильности и логического следования
в общем виде и иллюстрировать их заданиями, относящимися к различным классам
уравнений и их систем.
§ 4. Обобщенные приемы решения уравнении с одной переменной в школьном курсе
алгебры
Выделение приемов решения уравнений
Рассмотрим закономерность формирования обобщенного приема решения уравнений с
одним неизвестным алгебраическим способом. Она вытекает из следующего. Для
того чтобы решить любое уравнение с одной переменной, учащийся должен знать:
во-первых, правило, формулы или алгоритмы решения простейших уравнений
данного вида и, во-вторых, правила выполнения тождественных и равносильных
преобразований, с помощью которых данное уравнение можно привести к
простейшим.
Таким образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных
частей: 1) преобразования данного уравнения к простейшим; 2) решения
простейших уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам. При этом
если вторая часть решения является алгоритмической, то первая — в
значительной степени (и тем большей, чем сложнее уравнение) — эвристической.
Именно правильный выбор необходимых тождественных и равносильных
преобразований, как и всякий поиск решения задачи, представляет наибольшую
трудность для учащихся.
Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, и программа
обусловливает постепенное накопление как их видов, так и «фонда»
тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести
произвольное уравнение к простейшим. В этом направлении следует строить и
процесс формирования обобщенных приемов решения уравнений в школьном курсе
алгебры.
Обобщение приемов решения уравнений
Обобщение способов деятельности учащихся при решении уравнений происходит
постепенно. Выделим следующие этапы, процесса обобщения приемов решения
уравнений:
решение простейших уравнений данного вида;
анализ действий, необходимых для их решения;
вывод алгоритма (формулы, правила) решения и запоминание его;
решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;
анализ действий, необходимых для их решения;
формулировка частного приема решения;
применение полученного частного приема по образцу, в сходных ситуациях, в
легко осознаваемых вариациях образца;
работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе;
сравнение получаемых частных приемов, выделение общих действий в их составе и
формулировка обобщенного приема решений.
применение обобщенного приема в различных ситуациях, перенос и создание на
его основе новых частных приемов для других видов уравнений.
Учитель руководит всем процессом обобщения, его деятельность направлена на
создание ситуаций (условий) для реализации этой схемы в процессе поэтапного
формирования приемов: подбор упражнений и вопросов для диагностики контроля,
помощь учащимся в осознании состава приема решения, его формулировки,
отработки.
В V—VI классах при изучении числовых множеств в учебниках формулируется
довольно много алгоритмов действий над числами и правил простейших
тождественных преобразований выражений. Формулировка частных приемов решения
различных простейших уравнений первой степени может естественно вписаться в
этот процесс, не ограничиваясь, как это делают школьные учебники алгебры,
объяснениями на примерах.
Проводя работу по этапам процесса обобщения, к концу изучения курса математики
V—VI классов можно сформировать у учащихся, во-первых, обобщенный прием
решения уравнения первой степени с одной переменной в следующем виде:
1) рассмотреть данное уравнение, отметить его особенности;
2) установить, какие из следующих упрощений уравнения можно сделать: перенос
слагаемых из одной части уравнения в другую, приведение подобных слагаемых в
левой и правой частях уравнения, раскрытие скобок, деление обеих частей на
коэффициент при неизвестном;
3) упростить уравнение;
4) найти значение неизвестного;
5) записать ответ.
Во-вторых, можно сформулировать и обобщенный прием решения задач с
помощью уравнений, например, так, как это сделано в учебнике «Алгебра-7» под
редакцией С. А. Теляковского (М., 1989): «...поступают следующим образом:
обозначают некоторое неизвестное число буквой и, используя условие задачи,
составляют уравнение; решают это уравнение; истолковывают полученный результат
в соответствии с условием задачи».
В таком виде оба приема следует повторить в начале систематического изучения
курса алгебры в VII классе, затем уточнить их с учетом того, что здесь дают
определения основным понятиям (уравнения, корня, равносильности, линейного
уравнения).
Способы решения квадратных уравнений различных видов школьные учебники по
алгебре объясняют также на примерах. Отработав частные приемы решения неполных
квадратных уравнений и по дискриминанту, уместно сформулировать обобщенный
прием решения квадратного уравнения (по аналогии с приемом решения
уравнения первой степени):
1) определить, является ли уравнение простейшим (неполным или полным)
квадратным уравнением; если «да», то п. 4, если «нет» — п. 2;
2) установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований
нужно выполнить, чтобы привести уравнение к простейшему: раскрытие скобок,
приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую,
приведение подобных;
3) привести с помощью выбранных преобразований уравнение к квадратному уравнению
ах2 +bх+с=0, где а>0;
4) проверить равенство коэффициентов b и c нулю; если b=
0 или c=0, то п. 5, если b¹с¹0, то п. 6;
5) найти х по правилам: при b=c=0 х1,2=0; при с=0 и b¹0
 
при b=0 и c<0 при с>0 решений нет;
6) найти дискриминант уравнения D=b2—4ac;
7) найти х по формуле: при D>0  при D=0
 при D<0 решений нет;
8) если нужно, сделать проверку;
9) записать ответ.
Формирование этого приема не только помогает учащимся овладеть способом
решения квадратных уравнений, но и подсказывает им общие компоненты
деятельности при алгебраическом решении уравнений. Та же идея подкрепляется
решением задач с помощью квадратных уравнений, где уместно использовать
перенос уже известного приема решения задач с помощью уравнений первой
степени.
Сформулируем обобщенный прием решения уравнений первой степени с одной
переменной.
1) определить, является ли уравнение (неравенство) линейным; если «да», то п.
4, если «нет» — п. 2;
2) установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований
нужно выполнить, чтобы привести уравнение к линейному: раскрытие скобок,
приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую,
приведение подобных;
3) привести с помощью выбранных преобразований уравнение к линейному ах=b;
4) найти  при а¹0 ( при а><0);
5) если нужно, сделать проверку, исследование;
6) записать ответ (если нужно, изобразив его на числовой оси).
Сформулировать аналогично обобщенный прием решения уравнений второй степени
с одной переменной.
Изучение рациональных уравнений вносит в процесс решения уравнений
существенно новый компонент, связанный с рассмотрением области определения
выражения, входящего в уравнение, и возможных посторонних корней.
Учитывая это, сформулируем прием решения рационального уравнения:
1) определить, является ли данное дробное уравнение простейшим, т. е. уравнением
вида  ; если «да»,
то п. 4, если «нет» — п. 2;
2) установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований
нужно выполнить, чтобы привести уравнение к виду 
: раскрытие скобок, перенесение членов из одной части в другую, приведение
подобных, приведение к общему знаменателю;
3) привести с помощью выбранных преобразований уравнение к виду  ;
4) заменить данное уравнение равносильной ему системой
содержащей:
а) целое уравнение, полученное из данного умножением на общий знаменатель Q
(x);
б) неравенство, характеризующее область определения дроби;
5) решить полученную систему;
6) если нужно, сделать проверку;
7) записать ответ.
Программа по математике IX класса предусматривает знакомство и с некоторыми
общими для всех видов уравнений приемами преобразования уравнений к
простейшим (разложение левой части на множители и введение вспомогательной
переменной), графическим способом решения уравнений, решения систем уравнений
второй степени, решения задач с помощью систем уравнений на примерах.
Нетрудно заметить, что разложение левой части на множители и введение
вспомогательной переменной служит очередным расширением «фонда» преобразований
уравнений к простейшим. Тогда к концу изучения курса алгебры неполной средней
школы обобщенный прием алгебраического решения уравнений может иметь
следующий вид:
1) определить, является ли данное уравнение простейшим уравнением какого-
нибудь вида; если «да», выполнять п. 4, если «нет» — п. 2 ;
2) установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и
равносильные преобразования, чтобы привести уравнение к простейшим данного
вида: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов
из одной части в другую, приведение подобных, разложение левой части на
множители, введение вспомогательной переменной, возведение обеих частей в
степень, замена уравнения равносильной ему системой уравнений;
3) с помощью выбранных преобразований привести уравнение к простейшим;
4) решить известным способом простейшее уравнение;
5) если нужно, сделать проверку, исследование;
6) записать ответ.
Последняя ступень в освоении школьной теории уравнений относится к
организации имеющихся у учащихся знаний и опыта решения уравнений в единую,
целостную систему. Для этой ступени характерны более сложные задания, в
которых возрастает роль таких компонентов, как распознавание возможности
сведения задания к одному из типовых классов, организация процесса решения.
Здесь существенно производить разбор решаемых заданий, выделять особенности
различных классов заданий и их общие черты, отмечать ценность тех или иных
применяемых средств.
По своему положению в курсе алгебры эта ступень может быть отнесена к
прохождению последних тем курса и к итоговому повторению; в результате
формируется общая картина связей изученных классов уравнений, неравенств и их
систем. Для уравнений и систем уравнений ее можно изобразить в виде схемы
Страницы: 1, 2, 3
|
|
